10 דברים שכדאי לדעת על מספרים

 מהי הדרך הנכונה לחתוך עוגה? ופיצה?

האם סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180 מעלות?

ולמה האקרים שונאים מספרים ראשוניים?

אי אפשר לדמיין את חיינו ללא מספרים. אנחנו תלויים בסודותיה של המתמטיקה יותר משנדמה לנו, ובלי שנשים לב היא עוזרת לנו גם בהחלטות הקטנות של היומיום.

בעשרת הפרקים הקצרים של הספר הזה, תמצאו עובדות מעניינות ומפתיעות על המספרים שבחיינו, וסיפורים מרתקים ומשעשעים על האנשים שאחראים לגילויים המתמטיים החשובים של ההיסטוריה (וכן, יש אפילו עוגה).

10 דברים שכדאי לדעת על: מספרים הוא ספר חובה לכל חובב מתמטיקה – וגם לכל מי שנמאס לו לפחד ממנה.

קולין סטיוארט הוא מרצה וסופר עטור פרסים שכתב עשרות ספרים בנושאי אסטרונומיה ומדע פופולרי (ויש אפילו אסטרואיד על שמו!). ספריו נמכרו במאות אלפי עותקים ותורגמו ליותר מעשרים שפות.

פתח דבר

"כל דבר, בתוך תוכו, הוא מספר"
פיתגורס

עבור אנשים רבים, מתמטיקה מחסירה מהחיים. הם רואים בה דבר משעמם וחסר השראה. ברשימות המקצועות השנואים על תלמידים בבתי ספר היא מדורגת בקביעות במקום הראשון, לא פעם בפער עצום. גם אצל מבוגרים היא ממשיכה לככב בסיוטי הלילה.

עבורי זה מעולם לא היה כך. אני הייתי הילד שישב ליד החלון ושרטט תרשימי עמודות של צבעי המכוניות השונות שחלפו ליד הבית שלנו. מילאתי אינספור מחברות בעוד ועוד שורות של תרגילי חיבור, חיסור, כפל וחילוק. היה לי מחשבון ביד כמעט כל הזמן, ואני עדיין זוכר כמה התרגשתי כשגיליתי שאם מחלקים או מכפילים בעשר זה רק מזיז את הנקודה העשרונית שמאלה או ימינה. הפקתי הנאה רבה מצורות ומסדרות של מספרים.

אבל אין טעם להכחיש — מתמטיקה עלולה לתסכל. באוניברסיטה כתבתי שני עמודים של משוואות כדי לחשב את הלחץ בתוך ליבה של כוכב, רק כדי לגלות בסוף שאי שם באמצע העמוד הראשון כתבתי פלוס במקום מינוס. כמו סוודר שנהרס, הייתי צריך לחזור ולפרום הכול.

מתמטיקה היא בבסיסה שפה, וכמו כל שפה, השליטה בה דורשת תרגול. מספרים הופכים לשמות תואר, לשמות עצם ולפעלים; פלוסים ומינוסים מחליפים את מקומם של פסיקים ונקודות.

כמו מילים, גם מספרים נושאים בחובם רהיטות ואלגנטיות. קצב, מנגינה משלהם. כשמוכיחים משהו במתמטיקה — שלא כמו ביתר המדעים — אי אפשר להפריך את ההוכחה; ערים יהפכו לעיי חורבות, וההוכחה עדיין תהיה אמיתית. בהמשך הספר הזה נבחן כמה הוכחות כאלו, ואני מקווה להראות לכם כי ביצירות המופת המתמטיות הללו יש לא פחות יופי מאשר ביצירותיהם של בטהובן ובוטיצ'לי. יש שיאמרו כי מתמטיקה היא צורת האמנות הפחות מוערכת מכולן.

אנו נראה גם כי מספרים מביאים לעולם עושר תמידי, שעוזר לנו להתמודד עם המורכבות שלו. הם שוזרים בתוך חיינו חוטים בלתי נראים שטווים את הישגינו. חיזוק המיומנויות המספריות שלנו עומד בבסיס ההתקדמות הטכנולוגית שעשינו במאה האחרונה. ייתכן שזה מה שיציל אותנו במאה הבאה.

עוד נראה בהמשך איך הגענו לרמת השליטה המתמטית הזו. המסע שלנו יתחיל לפני עשרות אלפי שנים, כשרק למדנו לספור, ויסתיים בשאלה אם המספרים הללו ייגמרו אי פעם. לאורך הדרך נראה שבעצם, חלק מה"כללים" המתמטיים שלימדו אותנו בבית הספר אינם חקוקים בסלע, כפי שגרמו לנו להאמין. אבל מעל לכול, נראה כיצד מספרים יכולים להיות מהנים, מפתיעים ורלוונטיים לחיי היומיום שלנו, יותר מאי פעם.

אני מקווה שעד סוף הספר כבר תסכימו איתי שהמתמטיקה לא מחסירה דבר מהקרקס העצום של החיים — אדרבא, היא פלוס אחד גדול.

החשבוניות הראשונות — אצבעות ובהונות

הרי לֶבּוֹמבּוֹ חוצצים בין פארק קרוגר, הפארק הלאומי הנודע בדרום אפריקה, לבין מוזמביק שממזרח לו. בשנות השבעים, הארכיאולוג פיטר בומונט חשף תגלית מדהימה בלב רצועת הפסגות והעמקים הזו, שנמתחת על פני 800 קילומטרים: עצם מרֶגֶל של בבון.

במבט ראשון העצם לא נראית מרשימה, אך כשמתבוננים בה מקרוב אפשר להבחין בעשרים ותשע שנתות שגולפו בַּסידן. בניתוח שנערך מאוחר יותר נמצא כי העצם היא בת 43,000 שנה לפחות, מה שהופך אותה לעדות המוקדמת ביותר ליכולת שלנו לספור. אולי יצר אותה אסטרונום קדום שביקש להתחקות אחר שלבי מחזור הירח (שנמשך עשרים ותשעה ימים וחצי), או אישה שעקבה אחרי המחזור החודשי שלה.¹

ולא מדובר בממצא בודד וחד פעמי. באזור אישַנגוֹ, ששוכן כיום בתחומי הרפובליקה הדמוקרטית של קונגו, נמצאה עצם דומה מלפני 20,000 שנים. נראה, אם כך, שבמשך לפחות 20,000 שנים המשכנו להשתמש ברגלי קופים כדי שיסייעו לנו בספירה. אבל היכולת שלנו להתמודד עם מספרים נעשתה מורכבת יותר בפרק הזמן הזה. השנתות סודרו כעת לפי קבוצות, ובחלקן נראו רק מספרים אי־זוגיים. החוקרים משערים שזהו אחד הניסיונות המוקדמים ליצור שיטת ספירה.

שיטת הספירה שבה אנחנו משתמשים כיום עדיין מחלקת מספרים לקבוצות. היא נקראת "השיטה העשרונית" מפני שהיא משתמשת בעשרה סימנים — 0 עד 9 — כדי לייצג מספרים. וכשאנחנו מגיעים לעשר, אנחנו לא משתמשים בסמל חדש לגמרי, אלא משלבים שני סימנים קיימים כדי לכתוב 10. למה עשר? יש לנו עשר אצבעות. באנגלית, המילה digits פירושה גם ספרות וגם אצבעות — ואין זה צירוף מקרים. כילדים, אנחנו עדיין לומדים לספור באצבעות, כשכל אצבע משמשת אותנו כדי לציין ספרה אחת. לכן אנחנו אומרים שאנחנו סופרים לפי בסיס 10. אילו היו לנו שמונה או שתים־עשרה אצבעות, היינו סופרים כנראה לפי בסיס 8 (השיטה האוֹקטָלית) או לפי בסיס 12 (השיטה הדוּאוֹדֶצימָלית).

כל מספר בשיטה מסוימת קשור לבסיס שלה. שלוש־עשרה זה בעצם "עשר ועוד שלוש"; עשרים ואחת הם "שתי עשרות ועוד יחידה אחת". מעניין לציין שבאנגלית, המילים לאחת־עשרה (eleven) ולשתים־עשרה (twelve) אינן כוללות את המילים one (אחת) ו־two (שתיים), בהתאמה. הסיבה היא שהמילים האלה מקורן במילים הגרמאניות ainlif ו־twalif, כלומר "שארית אחת" ו"שארית שתיים". זה מה שנשאר כשמחסרים עשר. זה מספר האצבעות שצריך להרים אדם נוסף כדי לסמל את המספרים האלה, אם האדם הראשון כבר הרים את שתי הידיים. אנחנו מקבצים מספרים בקבוצות של עשר.

אולי אחת הסיבות לייחודיות הלשונית של אחת־עשרה ושתים־עשרה באנגלית היא, שלאורך ההיסטוריה השתעשענו לא מעט באפשרות לזנוח את השיטה העשרונית. בלוח השנה הרומי המקורי היו עשרה חודשים, שנקבעו על פי הירח, אך בשנה קלנדרית יש בדרך כלל שנים־עשר ירחים מלאים. לכן נוספו גם ינואר ופברואר, והחודש החמישי והשישי — שנקראו קווינטיליס וסקסטיליס — הפכו ליולי ואוגוסט, על שם יוליוס קיסר ויורשו אוגוסטוס. ההוספה של חודשיים בתחילת השנה בִּלגנה את שמותיהם של ארבעת החודשים האחרונים. ספטמבר, אוקטובר, נובמבר ודצמבר — שנקראו כך משום שהיו במקור החודשים השביעי, השמיני, התשיעי והעשירי — הפכו לתשיעי, העשירי, האחד־עשר והשנים־עשר (אך איש לא טרח לשנות את שמותיהם).

קבוצות של שתים־עשרה היו בשימוש נרחב גם במקומות אחרים. מידת האורך רגל מורכבת משנים־עשר אינצ'ים, ולפני שבריטניה עברה לשיטת מטבע עשרונית ב־1971, בכל שילינג היו 12 פני. זו היתה שיטה מסובכת מפני שהיו גם 20 שילינג בכל לירה שטרלינג — כלומר בסיס 20 (השיטה הוויגֶסימָלית).

הספירה הוויגסימלית נפוצה יותר מכפי שמקובל לחשוב. כי הרי, למה לספור רק בידיים, אם אפשר להשתמש גם בבהונות הרגליים? השיטה הוויגסימלית נהוגה בשפות קלטיות רבות, ביניהן קוּמבְּרית, קוֹרְנית וגם וולשית עתיקה. אפשר למצוא אותה בשיטה המסורתית לספירת כבשים, שבה משתמשים בעיקר בצפון אנגליה. השיטה נקראת "יאן טאן טֶתֶ'רָה", כלומר אחת־שתיים־שלוש. ברגע שהרועה מגיע לעשרים (בדרך כלל "ג'יגיט" או וריאציה כלשהי על המילה), הוא מכניס חלוק אבן לכיס או מזיז את היד לנקודת סימון אחרת על מקל הרועים שלו. בסופו של דבר, הוא סופר כמה קבוצות של עשרים יש לו.

ההשפעה הקלטית בצרפת היא כנראה הסיבה לכך ששיטת הספירה בצרפתית מודרנית היא יציר כלאיים של שני בסיסים שונים. ארבעים (quarante), חמישים (cinquante) ושישים (soixante) נקראים על פי אותו דפוס כמו באנגלית, אבל שמונים הם פתאום ארבע פעמים עשרים (quatre-vingts) במקום שמונה פעמים עשר. זהו שריד שמהדהד את השיטה הוויגסימלית. אלא שצרפתית היא לא השפה היחידה שמערבבת את בסיסיה. שפת הבוקיאיפ, המדוברת בפפואה גיניאה החדשה, משלבת בין בסיס 3 לבסיס 4. אגוזי קוקוס ודגים נספרים בשיטה הראשונה, ואילו אגוזים ובננות בשנייה.

בני אוֹקְסַפּמִין מגיניאה החדשה משתמשים לא רק באצבעות ובבהונות. בשיטה שלהם — הסַפְּטֶמוִויגֶסימָלית, כלומר לפי בסיס 27 — מסמנים את המספרים בהצבעה על עשרים ושבע נקודות ייחודיות על פלג גוף העליון. מתחילים לספור באגודל יד ימין (אחת), ואז על פני האצבעות ולאורך הזרוע אל הכתף הימנית (עשר). עולים במעלה הצוואר וחולפים על פני האוזן הימנית (שתים־עשרה), מעל העין הימנית (שלוש־עשרה), האף (ארבע־עשרה) והעין השמאלית (חמש־עשרה), ואז יורדים למטה דרך הצד השני של הצוואר אל הכתף השמאלית (שמונה־עשרה). משם ממשיכים לאורך הזרוע השמאלית ומסיימים בעשרים ושבע, בזרת יד שמאל.

שימוש בבסיס ספירה גבוה כל כך נשמע אולי מסורבל, אבל גם אנחנו משתמשים בשיטה לפי בסיס 60 (סֶקסָגֶסימָלית) בלי לחשוב על זה בכלל. הרי כל שעה מחולקת לשישים דקות, שכל אחת מהן נמשכת שישים שניות. את השיטה הזאת הכניסו לחיינו השוּמֶרים העתיקים, שחיו לפני 6,000 שנה בדרום מסופוטמיה (אזור שכולל היום חלקים מעיראק, איראן, טורקיה, סוריה וכוויית).

לאורך ההיסטוריה ניסינו, לפרקים קצרים, שיטות זמן אחרות. לוח השנה הרפובליקני של צרפת הונהג ב־1793, שנה אחרי המהפכה הצרפתית. הוא שיקף נאמנות מעוררת הערכה לשיטה העשרונית. הצרפתים המשיכו לחלק את השנה לשנים־עשר חודשים, אבל כל חודש חולק לשלושה שבועות, וכל שבוע לעשרה ימים. כל יום היה בן עשר שעות, כל שעה כללה 100 דקות וכל דקה ארכה 100 שניות. כלומר, שעה עשרונית היתה ארוכה פי 2.4 מהשעות שאנחנו רגילים אליהן. די אם נגיד שהשיטה לא תפסה, ובוטלה לאחר 12 שנים (לא היה עדיף לעשות זאת אחרי עשר שנים?).

מבחינות רבות, השימוש בבסיס 60 למדידת זמן הוא הגיוני מאוד. 60 הוא המספר הקטן ביותר שמתחלק בששת המספרים הראשונים (וגם ב־10, 12, 15, 20, 30 ו־60). כשיש כל כך הרבה דרכים לחלק 60 למספרים שלמים, אפשר בקלות לפרק שעה להרבה חלקים שונים.

נוסף על כך, אנחנו רואים את השמש זורחת 365 פעמים בשנה לא מעוברת. המצרים, שירשו את השיטה הסקסגסימלית מהשומרים, עיגלו זאת ל־360, שהם שש קבוצות של שישים (את המספר 365 אפשר לחלק רק ב־1, 5, 73 ו־365). בגלל זה אנחנו עדיין אומרים שיש 360 מעלות במעגל (השיטה הטְרֶצֶנטוֹסֶקסָגֶסימָלית) — זה מתוכנן כך שהשמש תיראה כאילו היא מתקדמת בערך במעלה אחת על פני השמים עם כל יום שעובר. המעלות — ממש כמו השעות — מחולקות לשישים דקות, וכל דקה לשישים שניות.

ייתכן שהחולשה שלנו לשיטה הסקסגסימלית קשורה אף היא לכפות הידיים. הפנו את כף יד שמאל כלפי מעלה והביטו בה, תוך התעלמות מהאגודל. כל ארבע האצבעות האחרות כוללות שלושה חלקים, שכל אחד מהם הוא עצם נפרדת. כלומר, בסך הכול ישנם שנים־עשר חלקים. אם תצביעו באמצעות אגודל יד ימין על כל אחד מהחלקים האלה, לפי סדר, תוכלו לספור מאחת עד שתים־עשרה. זה עשוי להסביר למה החלטנו לחלק את משך סיבובו של כדור הארץ ל־24 שעות — 12 ליום ו־12 ללילה.

ועם זאת, אפשר להמשיך להשתמש באצבעות בתור חשבונייה. לאחר שהגענו לשתים־עשרה בהצבעה באגודל, אפשר להצביע על אותם חלקים בעזרת האצבע המורה כדי לספור מ־13 עד 24. אפשר להמשיך באותה שיטה עד לזרת יד ימין, שתספור מ־49 עד 60. המעבר מאצבע לאצבע כדי להצביע על העצמות שקול לאותו רועה צאן ביורקשייר שמכניס חלוק נחל אל הכיס.

אפשר אם כך לראות בבירור שמערכת הספירה המשמשת אותנו בחיי היומיום היא ערב־רב של שיטות שונות ומשונות. אבל זה מפני שאיש לא התיישב לתכנן אותה. היא התפתחה מעצמה ונשזרה בחיינו עם הזמן, כאשר דרכי מדידה שונות התנגשו, נזנחו או התמזגו זו בזו. היא עוצבה בכור היתוך של רעיונות, תרבויות ושפות.

אני, באופן אישי, סבור שזה די יפה. זו אולי לא שיטה מושלמת, אבל זו השיטה שלנו. היא מעידה על רבבות שנים של היסטוריה, ומשקפת את המסע שלנו מעצמות בבונים אל העידן הדיגיטלי המודרני. בפרקים הבאים נראה לאן לקח אותנו המסע הזה.

ועם זאת, אף שלמדנו לספור כבר בימי הגילוף בעצמות בהרי לבומבו, יש משהו שנעדר מהשיטה המתמטית שלנו למשך זמן ארוך עד להפתיע — משהו שהוא, במקורו, פראי ובלתי ניתן לאילוף: רעיון הלא־כלום. הגיע הזמן שנדבר על אפס.