פניני חשיבה א' - פתרון בעיות לצעירים

כיצד תחלק 10 מטבעות לתוך 3 כוסות, כך שבכל כוס יהיה מספר אי־זוגי של מטבעות?

לפניך 8 מטבעות שוות משקל, למעט אחת מזויפת, קלה יותר מן האחרות. כיצד תמצא אותה בעזרת מאזני כפות (מאזני צדק) ב-2 שקילות בלבד?

בבוקר הולך על 4, בצוהריים הולך על 2 ובערב הולך על 3. מי אני?

האם יש על פני כדור הארץ לפחות שני אנשים בעלי אותו מספר שערות על ראשם?

פנינים לצעירים לילדים ולנוער מציג פתרון בעיות חשיבה רבות מתחומי ההיגיון, המתמטיקה והפיזיקה. הספר מכיל אוסף בעיות נבחר, יפה ומאתגר, ומדריך כיצד פותרים אותן בדרכים שונות. החומרים מובאים באופן מדורג מהקל אל הקשה, מדגימים ומאפשרים פיתוח שיטות חשיבה וכלים לפתרון בעיות, מספקים שעות רבות של אתגר והנאה, ומרחיבים את הדעת. ספר זה יכול וצריך לעניין כל אדם חושב.

בוגרים ומתקדמים מוזמנים לבדוק את הספר השני בסדרה - פנינים לבוגרים לגילֵי התיכון ומעלה.

נחום יצחקי, דוקטור לאלקטרוניקה פיזיקלית מאוניברסיטת ת"א. הוביל וניהל במשך  כ-25 שנה מחלקות מחקר ופיתוח בתעשייה, פיזיקאים, מהנדסים ומנהלים רבים בחברות הייטק: אינטל, אלאופ-אלביט, ואפלייד-מטריאלס; ובחברות הזנק: לינקס פוטוניק-נטוורקס, ואינוויז. נחום פרסם עשרות מאמרים מדעיים, פרקים בספרים מקצועיים, ומספר פטנטים. כיום, מנהל קבוצת הפיזיקה בחברת פריזמה פוטוניקס.

מבוא

ב״חיידק״ הנקרא שיטות חשיבה, פתרון בעיות וחידות נדבקתי להנאתי כבר בבית הספר היסודי וזה יותר מ־45 שנה - בבית הספר, בצבא, באוניברסיטה ובראיונות עבודה - אני מגדיל את האוסף ואת ההנאה עוד ועוד. את הרעיון לכתוב את הספר לכשאתפנה מהקריירה קיבלתי כבר לפני כ־30 שנה, לפי ההיגיון האומר ש״כבר לקראת הפרישה חובה לעשות בעיקר דברים שאוהבים״, וגם לפי האמרה האומרת ש״קודם צריך ללמוד, אחר־כך לעשות, ורק לאחר מכן ללמד״.

הספר מבוסס על מספר עקרונות יסוד מנחים. ראשית, כל אחד, בכל גיל, יכול להשתפר משמעותית ביכולת לפתור בעיות אנליטיות ויצירתיות, ובתנאי שירצה ויאמין בעצמו, וילך בדרך המוצעת - מן הקל אל הקשה. צריך בעיקר ליהנות וללכת בשיטתיות. כך משתפרים ומאפשרים למצות את הפוטנציאל טוב יותר.

לקבלת תרומה מקסימלית רצוי להתחיל בפעילות זו מוקדם ככל האפשר, אך עדיף מאוחר מאשר לעולם לא - לכולם זה מועיל. פעילות זו טובה לכל אחד ואחת לשיפור דרכי החשיבה ופתרון בעיות אנליטיות ויצירתיות, להגדלת הביטחון העצמי, להנאה לשעות רבות, לגילוי הכישרון ולטיפוחו. נוסף על כך, ישנו אוסף לא גדול של דרכי פתרון שהיכרות עימן ותרגולן משפרים משמעותית את היכולת לפתור רבות מן הבעיות. כל בעיה צריך וניתן לפתור במספר דרכים, הדבר משפר את ההבנה וגם את היצירתיות ובספר זה נראה כיצד הדבר ניתן לביצוע. התרומה הכללית הינה רבה, רב־תחומית ומוחשית. כל מה שדרוש הוא: זמן פנוי, הספר, עיפרון ונייר. חובה להתאמץ ולנסות לפתור לבד ככל האפשר - זהו העיקר ורק כך ניתן להשתפר. אומנם, בהתחלה יהיה קשה יותר, בדומה ללימוד שפה חדשה או לימוד נגינה על כלי חדש, אך ככל שנעשה זאת יותר כך נתחזק מהר יותר. מותר וצריך לטעות או לא להצליח. זהו חלק חיוני בלמידה ואין להתבייש בכך. כל מי שרוצה לצאת מהגבולות הנוכחיים שלו עושה טעויות. ככל שננסה יותר ונתמיד, כך נצליח יותר בפתרון בעיות ונמצה את יכולותינו. כל אחד יכול להשתפר מאוד.

חשוב להדגיש, מדובר כאן בפתרון בעיות אנליטיות ויצירתיות. כלומר בעיות שלצורך פתרונן דורשות היגיון בריא, חשיבה מתמטית, יכולת חשיבה צורנית ומרחבית, יצירתיות, חשיבה אלגוריתמית, חשיבה פיזיקלית וחשיבה מילולית. אלו מהווים נדבך חשוב מאוד בחיינו - קריטי בלימודים, חשוב מאוד בעבודה ובקבלת החלטות, וחשוב ומועיל בכלל בחיים. החשיבה האנליטית מטבעה מכוונת להתכנסות ולאנליזה והחשיבה היצירתית מתבדרת יותר, במיוחד בשלביה הראשונים, ומחברת דברים (סינתזה). רוב שיטות החשיבה והטכניקות לפתרון הבעיות המובאות כאן מהוות כלי עזר חשובים לחשיבה האנליטית. משלא די באלה, נכנסות לפעולה הטכניקות המוצגות לחשיבה היצירתית, הנחוצה כמובן במקרים הקשים, אך למעשה היא נחוצה תמיד, כי כשרוצים להבין יותר ולראות את התמונה השלמה ומכיוונים שונים - חובה להשתמש גם בה. יחד עם זאת, אין די בחשיבה אנליטית ויצירתית, ויש בחיינו עוד סוגי אינטליגנציה חשובים ומועילים, כגון אינטליגנציה רגשית ואינטליגנציה חברתית, אינטליגנציה של הגוף והתנועה, אינטליגנציה מוזיקלית וחשיבה מערכתית. מטרתו של ספר זה הינה לעזור לכל החפץ בכך לשפר את היכולות האנליטיות והיצירתיות החשובות הללו, לאפשר לו למצות את הפוטנציאל הטמון בו בהקשרים חשובים אלו וכמובן, ליהנות מהתהליך.

מלבד בעיות שניתן לשייך לתחומי ההיגיון והמתמטיקה, שולבו לאורך הספר גם שאלות נבחרות בחשיבה פיזיקלית השייכות לעולם הפיזיקה. חידות אלו יכולות לעורר חשיבה ועניין רב ולהצית ויכוחים רבים, וזו מטרתן העיקרית. מובאים גם פתרונות ורמזים וראוי להתעמק גם בהם, אך רק לאחר חשיבה עצמאית.

במהלך לימודיי באוניברסיטה השתתפתי בפרויקט פר״ח, פרויקט חונכות לילדים ממשפחות נזקקות. במשך שנה לפחות החונך נפגש כפעמיים בשבוע עם ילד בגיל בית ספר יסודי, משחק איתו, משוחח איתו ועובר איתו קצת על שיעורי הבית. אני הוספתי לכך גם הרבה חידות ברמה שהתאימה לילד, בהתחלה קלות מאוד ולאט לאט הקשיתי. באמצע השנה קיבלתי הודעה מהמורה של הילד שאיתו נפגשתי, שהיא מבקשת שאבוא לפגוש אותה. הגעתי אליה תמה למדי. מה היא רוצה ממני? תהיתי, האם יש איזו בעיה?

הפגישה החלה באופן מדאיג.

״תגיד לי, מה עשית לילד הזה?״ היא שאלה.

״למה את מתכוונת?״ שאלתי כי לא חשבתי שעשיתי משהו מיוחד. ואז היא סיפרה שזה מספר חודשים הילד נפתח וקיבל ביטחון, הוא שואל את כולם שאלות ואף החל להצביע בשיעורים ולדבר, בניגוד לעבר. סיפרתי לה מה אנחנו עושים בפגישות שלנו ונמלאתי גאווה וביטחון.

גם בשנה השנייה חזרתי על אותה גישה, עם ילד אחר, ושוב התוצאות לא איחרו להגיע. אין הדבר אומר שתמיד ניתן לעשות שינוי כה גדול, אולם אין לי ספק שבמקומות שבהם יש חסר וחסך - ניתן להשיג שיפור משמעותי ולהביא למיצוי הפוטנציאל. לדעתי, כל אדם צריך להיחשף לשיטות המתוארות בספר הזה, ליהנות מהחידות היפות ולמצות את הפוטנציאל שלו, ועדיף כשהוא צעיר. נושאים כגון: למה ללמוד וכיצד ללמוד נכון, פתרון בעיות, יצירתיות, איך לקבל החלטות, התמונה הגדולה ומה מחכה לנו בהמשך, אין ספור התשובות לשאלות ״איך צריך לחיות״ ו״מהי משמעות החיים״, פילוסופיה, אבולוציה, מוזיקה, גבולות הידע שלנו, ועוד - כל אלה בדרך כלל מוזנחים בבית הספר. ברור שאין די במספר דוגמאות כדי להוכיח שזו השיטה הנכונה או הטובה ביותר ללמוד לפתור בעיות או לשפר את הביטחון העצמי או למצות את הפוטנציאל, זו גם אינה כוונתי. הסיפורים שלי הם דוגמאות חלקיות מניסיוני האישי והם מתארים את המקור למוטיבציה שלי ולרעיונות. לשם הוכחה נדרשים מחקרים ייעודים וכאלה אכן נעשו, נעשים ועוד ייעשו. לעת עתה, וכרגיל בתחומים אלו, הקשורים למדעי החברה, אין הוכחה ניצחת, כמותית וחד־משמעית שאם תעשה א, ב, ו־ג, תמיד תקבל את ד, ו־ה. הדבר מורכב מכך, שהרי מדובר בבני אדם שונים, עם תנאי התחלה שונים וסביבה שונה. אך ללא ספק ישנה קורלציה חיובית סטטיסטית, המחייבת התייחסות חיובית והשקעה בנושא, אף שנדרש עוד מחקר.

במשך השנים זכיתי לראיין ולגייס עובדים רבים בהיי־טק - מדענים, מהנדסים ומנהלים. ריאיון העבודה כולל בדיקה מקצועית ואישיותית של המרואיין ובחינת התאמתו לתפקיד ולסביבה. יחד עם זאת, כתוסף ובפרופורציות הנכונות, תמיד שאלתי ובדקתי יכולת פתרון בעיות וחידות ברמת קושי עולה - התחלתי משאלות קלות, שכמעט כולם פותרים, ולאט לאט הגברתי את הקושי, כמאפיין של יכולות ושל אופני חשיבה, ומתוך כוונה לבדוק את אופן ההתנהלות וההתנהגות במצב של שאלות קשות, שלא ציפיתי לפתרונן. צריך לקחת בחשבון את תנאי הלחץ בריאיון ולכן המרואיין לא חייב לפתור נכון, אבל הוא כן חייב לנהוג נכון. במקרה כזה בדקתי גם איך חושבים כשמקבלים עזרה ולקחתי בחשבון את כל המרכיבים יחדיו. פעמים רבות מצאתי שזה עזר לי מאוד להבדיל בין הלא טובים, הטובים והמצוינים. הדבר הוכיח את עצמו גם לאחר מכן, במבחן המציאות בעבודה.

מטרות הספר הן, כאמור, לסייע בפיתוח החשיבה והיכולת לפתור בעיות, לעזור לכל מי שחפץ בכך לשפר את היכולות האנליטיות והיצירתיות ולאפשר לו למצות את הפוטנציאל הטמון בו בהקשרים חשובים אלו. להיות מקור מספק אחד המכיל חידות רבות ויפות, ולהציג ארסנל של בעיות מתחומי הלוגיקה, המתמטיקה והמדע שראוי שכל אדם צמא דעת ייחשף אליהן. להראות שלכל בעיה דרכים רבות לפתרון וכי תנאי הכרחי להבנה אמיתית הוא היכולת להסביר נושא בדרכים שונות. להציג אופני חשיבה שונים, לפרט את שלבי הפתרון ולהדגים איך לתקוף בעיות קלות עד קשות ככל שיהיו. הספר יכול לשמש כמקור של חשיבה והנאה לשעות ולימים רבים!

האופן שבו משיגים זאת: על־ידי למידת טכניקות וכללים לפתרון בעיות. ראשית יוצגו דוגמאות, אחר ינוסחו הכללים באופן מפורש, לאחר מכן יתבצע תרגול נוסף על־ידי בעיות נוספות עם פתרונות מלאים. אחר־כך יוצגו בעיות עם רמזים בלבד ופתרון חלקי. ואז יבואו בעיות עם תשובה סופית בלבד, ללא פתרונות ורמזים. מפאת רוחב היריעה - רמות שונות, מגוון שיטות וריבוי בעיות יפות ומעניינות - חולק החומר לשני ספרים. הראשון הוא ספר זה, חלק א' לצעירים ובו מחולקות הבעיות באופן גס לשתי רמות שונות. הראשונה לילדים, מגיל 4 עד 12 לערך, גיל בית ספר יסודי - פרק 2, והשנייה לילדים ונוער, מגיל 10 עד 15 לערך, גיל בית ספר יסודי וחטיבה - פרק 3. הספר השני, חלק ב', מיועד לגילים בוגרים יותר ובו פרק שלם עבור גיל התיכון, גיל 14 עד 18, ואוסף נוסף ברמה הגבוהה ביותר, האוניברסיטאית, לגיל 17 ומעלה. כך יכול כל אחד, בכל גיל ובכל רמה, להתחיל במקום המתאים לו ומשם להתקדם. ניתן לעבור על הפרקים לפי הסדר, בקצב המתאים לקורא, החלוקה לפרקים אינה מחייבת ואינה מדויקת. כך יכול כל אחד לפנות לכל פרק ורמה שיחפוץ, בהתאם לעניין, ליכולת, לשעה ביום וכדומה.

מטעמי חיסכון, הפנייה היא בלשון זכר, אך פונה לכולם.

מפאת החשיבות, אחזור ואומר: כל מי שבאמת רוצה להשתפר בפתרון בעיות, לאחר שלב הבנת הבעיה חייב לנסות לפתור אותה לבד, בלי להסתכל על הפתרון המובא, ולהקפיד בכך מאוד. רצוי להסתיר מראש (בעזרת היד או נייר) פתרון המובא מייד לאחר חידה. המאמץ לפתור לבד, גם אם ללא הצלחה, כשלאחר מכן מעיינים בפתרון המוצע ומבינים אותו, מוביל לשיפור משמעותי ביכולות הפתרון, תוך שמירה על חשיבה מקורית.

נקודות חשובות:

אנו מגדירים חידה או בעיה, להבדיל מסתם תרגיל, כשאלה שבתחילה אין יודעים כיצד לפתור אותה וצריך לחקור מעט את הנתונים. נדרש לשחק עימם, לבדוק במספר מקרים ומצבים, להקשיב לאינטואיציה ולחשוב באיזו שיטה או שיטות יש לנקוט כדי להגיע לפתרון.

סוג החשיבה, או האינטליגנציה, הנדרשת לפתרון בעיות או חידות נקראת אינטליגנציה נוזלית, או זורמת. היא היכולת לחשוב באופן גמיש, הגיוני ויצירתי, ולפתור שאלות שאיננו יודעים מראש כיצד לפתור, כיוון שלא למדנו מראש ואיננו מכירים טכניקה מתאימה לפתרון הבעיה. זאת להבדיל ממה שקרוי אינטליגנציה גבישית, אשר מאפשרת לפתור שאלות על־סמך ניסיון ולימוד קודמים. פעמים רבות נפתור בעיות בספר זה במספר דרכים, ביניהן למשל מה שנכנה ״הדרך הסטנדרטית״ שבה נפתור שאלה על־ידי השיטות הרגילות שלומדים בבית הספר, לדוגמה: על־ידי ניסוח משוואות מתאימות, קרי - מודל מתמטי, ופתרונן. אך ניתן גם לפתור בדרך שנקרא לה ״הדרך האלגנטית״, שאינה דורשת טכניקות הנלמדות בבית הספר, אלא בעיקר חשיבה לוגית ויצירתית - אינטליגנציה נוזלית - המסייעת להבין היטב את הבעיה ולפתח שיקולי היגיון וערוצים חדשים המביאים לפתרון הבעיה ללא צורך באמצעים טכניים מורכבים. בדרך כלל דרוש זמן רב יותר להגיע לפתרונות האלגנטיים, כי הטכניקות הרבות שלמדנו כמעט תמיד יקפצו במהירות לראש הפוגש בעיה, ואף ימנעו המשך חשיבה והתעמקות, שהרי כבר יש בידינו פתרון. אך דווקא פתרונות אלגנטיים אלו מניבים את הרגעים המהנים והמתגמלים ביותר בפתרון בעיות, ולכן ראוי תמיד להתאמץ ולנסות לפתור בעיות גם באופן הפשוט, הנקי והטהור הזה.

החידוש העיקרי הוא בניסיון להנגיש את השיטות השונות ואת החידות היפות לאוכלוסייה רחבה יותר וכמעט לכל אדם - בכל גיל ורמה. ניסיתי לתאר את האופן שבו מגיעים לפתרון, את אופני החשיבה השונים וגם איך נתקלים בקשיים ובכל זאת לא מוותרים ומגיעים בסוף לפתרון, או אף לפתרונות שונים. בהתבסס על ניסיוני רב השנים, אם בלימודים, בפנאי או בעבודה, אין לי ספק שהחומרים המובאים כאן יוכלו להסב קורת רוח ללא מעט אנשים, ואף להיות שימושיים, שלא לומר להקל על מיצוי הפוטנציאל הרב הטמון באנשים רבים.

שלבים עיקריים בפתרון בעיות

קיימים ניסוחים רבים וגרסאות מגוונות לשלבים הנכונים בפתרון בעיות, אולם המכנה המשותף לכולם כולל את ארבעת השלבים הבאים, שנוסחו כבר בשנות הארבעים של המאה הקודמת על־ידי המתמטיקאי פולייה:

זיהוי והבנת הבעיה (Problem & Objective = PO) - זיהוי הבעיה ואפיון במדויק ובמפורש מהם הנתונים ומה נדרש למצוא, או להוכיח, כלומר - המטרה.

חשיבה, חקירה ותכנון דרך הפתרון (Thinking/Investigation Plan/Alternatives = TP) - חשיבה פעילה: ציור הבעיה וניסוחה בדרכים שונות. ניסיון להסיק את כל הדברים הנובעים מהנתונים, פישוט הבעיה ובדיקת מקרים פשוטים, או קטנים יותר, על־מנת לראות מה ניתן ללמוד. חשיבה על מציאת דרכים אפשריות לפתרון, בחירת השיטה שבה ננקוט והגדרת שלבים עיקריים בדרך לפתרון. על מגוון השיטות השונות ראה בשאר הסעיפים הנקראים ״סיכום שיטות חשיבה ועקרונות״ - סעיף שני בכל אחד מהפרקים הבאים (שיטות אנליטיות ו/או יצירתיות).

ביצוע התוכנית: (Execute/Act = E)

בחינה ולמידה: (Check, Interpret, and Learn + Generalize = L) הסתכלות לכל הכיוונים: בדיקה חוזרת של דרך הפתרון והתוצאה. בדיקת סבירות הפתרון ומשמעויותיו. למידה לעתיד לבעיות דומות, הכללה וניסיון לפתור את הבעיה בדרכים אחרות.

סך הכול כדי לזכור בקלות: POTPEL = Problem & Objective, Think & Plan, Execute, Learn.

זאת להבדיל קמעה משיטות לקבלת החלטות בהן סעיף א' נותר כמתואר לעיל - יש להבין היטב מהי הבעיה ומה המטרה. לאחר מכן, סעיף ב' עבור קבלת החלטות יכיל את סעיף ב' המתואר לעיל, אך כאן חובה עלינו לייצר מספר חלופות אפשריות לפתרון. בסעיף ג' נחקור ונתקדם בתכנון כל אחת מהחלופות ונלמד את ההשלכות, היתרונות והחסרונות שלה בבואנו לפתור את הבעיה בעזרתה. ובסעיף ד' נשווה בין החלופות השונות על־פי קריטריונים אובייקטיביים בעלי משקל מתאים. כאן נוסיף אף שלב ה' ובו ננסה, אם ניתן, לשלב בין חלופות באופן יצירתי ומושכל, כדי לקבל חלופה חדשה וסופית שתהיה טובה יותר מכל השאר.

בספר זה נתרכז בעיקר בשיטות לפתרון בעיות ונותיר לספר אחר את השיטות לקבלת החלטות, אשר שימושיות לחיים ולעבודה לא פחות מטכניקות לפתרון בעיות ואף מכלילות אותן.

נדגים כאן את 4 השלבים באופן מלא עבור 2 דוגמאות שנלקחו מהספר.

דוגמה ראשונה: לפניך 24 מטבעות שוות משקל, למעט אחת מזויפת, קלה יותר מן האחרות. כיצד תמצא אותה בעזרת מאזני כפות (מאזני צדק) ב־3 שקילות בלבד?

PO: כאמור, יש לנו 23 מטבעות זהות ועוד אחת מזויפת - קלה יותר, סך הכול 24 מטבעות. נתונים לרשותנו גם מאזני צדק, בהם מותר להשתמש 3 פעמים מקסימום. המטרה היא למצוא מהי המטבע המזויפת. מניחים שאין שום הבדל אחר בין המטבעות, למעט המשקל. במאזני צדק אפשר לדעת אם קבוצה אחת המונחת על כף אחת שוקלת יותר מהקבוצה השנייה, המונחת על הכף השנייה, פחות ממנה או בדיוק כמוה. זהו, נראה שהבנו מה נתון, מה רוצים ובאילו תנאים. הגיע הזמן להתעמק בשלב החשיבה, החקירה והתכנון.

TP: אפשר להתחיל ולנסות בגישה של ניסוי וטעייה, אולם יש יותר מדי אפשרויות לנסות והרבה מטבעות. לכן ננקוט בדרך שימושית לחקירה וניסוי מושכל והיא - להתחיל עם מספרים קטנים ולראות אם נגיע לתובנות או לתבניות כלשהן, כלומר - לנסות לפתור בעיה קלה יותר וללמוד ממנה. נתחיל עם שתי מטבעות שאחת מזויפת, כלומר קלה יותר. זה קל - מניחים האחת מול השנייה ומייד יודעים איזו הקלה כי הכף שלה גבוהה יותר. נמשיך לשלוש מטבעות ואחת מהן מזויפת. כיוון שהמספר אי־זוגי לא ניתן להשוות בין שתי הכפות, לכן נשאיר אחת בצד ונחזור על המדידה כמו עם שתי מטבעות. זה עדיין די פשוט כי נוספה רק אפשרות אחת פשוטה - אם המאזניים מאוזנים, אז המזויפת נמצאת בצד. כך שעבור שלוש מטבעות עדיין די בשקילה אחת. נמשיך ל־4 מטבעות. ננסה להמשיך באותה השיטה - אחת מול אחת, אבל עכשיו יש שתי מטבעות בחוץ ולכן במקרה של שוויון במדידה הראשונה תידרש שקילה נוספת בין השתיים שנותרו בצד. ננסה לעשות טוב יותר על־ידי התחלה אחרת. למשל: נתחיל עם שתי מטבעות על כל כף, כך נדע בדיוק היכן המטבע המזויפת, אך עדיין נזדקק לשקילה נוספת. נגדיל ל־5 מטבעות: עדיין ניתן למצוא את המטבע המזויפת על־ידי מקסימום שתי שקילות (2 מול 2, אם הן שוות אז החמישית שבצד היא הקלה, אחרת נאתר את הקלה בשקילה שנייה בין השתיים הקלות יותר). נקפוץ ל־9 מטבעות: בשיטה הראשונה נניח עתה 3 בכל כף ונשאיר 3 בצד. עדיין די בשתי שקילות כי אם יש שוויון וגם אם יש אי־שוויון נישאר עם שלשה קלה וממנה ניתן להוציא את המטבע המזויפת על־ידי שקילה אחת. ראה איור להלן (איור או שרטוט טוב יכולים לעזור תמיד).

בשיטה השנייה, אם נניח 4 מול 4 ונשאיר אחת בצד זה יהיה בעייתי כי יידרשו עוד שתי שקילות כדי לאתר את המטבע הקלה וזה כבר פחות טוב. לכן נראה שעלינו על השיטה: עד 3 מטבעות די בשקילה אחת, עד 9 מטבעות די בשתי שקילות המתבססות על תת־קבוצה של 3. כך ל־10 מטבעות צריך כבר 3 שקילות ואם נמשיך לבנות את הפתרון לכמות גדולה יותר בעזרת קינון, או רקורסיה, ליותר מ־9, נוכל להשתמש באבן הבניין הבאה שהיא 9, בדיוק כפי שהשתמשנו באבן הבניין הבסיסית - 3.

E: עכשיו עלינו על שיטה. נפעיל ונבדוק אותה עבור 24 המטבעות הנתונות בבעיה המקורית: ראשית נחלק ל־3 קבוצות של 9, 9, ו־6 ונשקול 9 מול 9. אם אחת מהן קלה יותר אז נמצא מתוכה את המטבע המזויפת תוך מקסימום שתי שקילות. אם יהיה שוויון אזי נמצא בעזרת שתי שקילות את המטבע המזויפת מתוך 6 מטבעות. כך הצלחנו ב־3 שקילות למצוא את המטבע המזויפת.

L: ראשית נבדוק את המתואר לעיל ונוודא שאין טעויות. מעבר לכך, נראה שפיתחנו שיטה יפה שיכולה להתאים לכל מספר של מטבעות - הכללה - לפי חזקות של 3: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729... למשל עבור 600 מטבעות: 600 נמצא בין 35 = 243 ל־36 = 729 ולכן דורש 6 שקילות. נחלק ל־2 קבוצות של 243 זו מול זו בשקילה ראשונה והשאר (114) בצד ונמשיך בהתאם. ובאופן כללי עבור M מטבעות נִדָּרֵשׁ ל־N שקילות כאשר N הוא המספר השלם הבא אחרי log3M ומסמנים: ⌈log3M⌉. למהדרין נותר להוכיח שזהו מספר השקילות המינימלי האפשרי.

דוגמה שנייה: בטורניר טניס בשיטת ״המפסיד יוצא״, מתחרים 2,000 שחקנים. בכל שלב, אלו שהפסידו יוצאים מהטורניר ואלו שנותרו מתחלקים שוב לזוגות באקראי ומשחקים עד לניצחון של אחד מהם (אין תיקו). המפסידים בסוף כל שלב יוצאים מהתחרות. אם מספר האנשים בשלב מסוים הוא אי־זוגי, אז אחד מהם, שנבחר באקראי, לא משחק באותו שלב וכך ממשיכים עד שמגיעים לזוג האחרון - למשחקון האחרון - והמנצח בו מוכרז כמנצח של הטורניר כולו. כמה משחקונים הם משחקים בסך הכול עד שמוכרז המנצח?

PO: נסדר את הנתונים: 2,000 מתחרים בטורניר זוגות לפי שיטת ״המפסיד יוצא״. במקרה של מספר אי־זוגי, אחד ימתין בצד. המטרה המבוקשת: כמה משחקונים ישוחקו עד לסיום?

TP: בדרך כלל, לאחר הבנת הבעיה, סידור הנתונים והבנת הנדרש, אנשים מסתערים על השאלה ומתחילים לבצע ספירה מסודרת של שלבים ומשחקונים בדרך הסטנדרטית, כלומר כפי שלומדים בבית הספר. כך, אם לא עושים טעות חישוב, וגם זה קורה, במיוחד כשממהרים או מתרגשים, מגיעים לתשובה הנכונה, שהיא - 1,999, ובזה נגמר העניין. אך אז מדובר בתרגיל חישוב פשוט ולא בבעיה, וגם לא נגלה את הנקודה הקריטית ואת יכולת ההכללה. לעומת זאת, אם ננסה לפתור את הבעיה ראשית עבור מספרים קטנים יותר אזי נוכל להגיע ביתר קלות לתובנות ולהכללה.

E: הפתרון הסטנדרטי שהרוב מנסה: שלב 1: 1,000 משחקונים וייוותרו 1,000 שחקנים; שלב 2: 500 משחקונים; שלב 3: 250 משחקונים; שלב 4: 125 משחקונים וייוותרו 125 שחקנים; שלב 5: אחד בצד ו־62 משחקונים. ייוותרו 63 שחקנים (62 מנצחים והאחד בצד); שלב 6: 31 משחקונים וייוותרו 32 שחקנים; שלב 7: 16 משחקונים; שלב 8: 8 משחקונים; שלב 9: 4 משחקונים; שלב 10: 2 משחקונים; שלב 11: משחקון אחד אחרון. סך הכול שוחקו:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 125 + 250 + 500 + 1,000 = 1,999 משחקונים.

הפתרון האלגנטי: אם נתעכב קמעה לפני שנרוץ לחשב במספרים גדולים ונחפש עקרונות גדולים יותר, או נבדוק קודם במספרים קטנים יותר - כמעט תמיד נרוויח, וגם במקרה זה. בדיקה ל־10 שחקנים מניבה 9 משחקונים, ל־24 שחקנים - 23 משחקונים. נראה שיש כאן שיטתיות כך שתמיד מספר המשחקונים קטן ב־1 ממספר השחקנים.

L: עכשיו כבר קל לראות שכך, וגם קל להוכיח עבור n שחקנים: שהרי בכל משחקון יש מפסיד אחד וכך בהכללה - סך הכול יש n-1 מפסידים ולכן n-1 משחקונים ל־n שחקנים. ובמקרה שלנו: 2,000 − 1 =1,999 משחקונים ואין כל צורך לחשב כל כך הרבה חישובים. מתקיים כאן ״חוק שימור המפסידים״ ואתם חייבים להודות שזה יפה.

כולי תקווה כי ספר זה ישמש אתכם לשעות רבות של הנאה ואף יוכל לעזור קמעה במימוש הפוטנציאל שלכם או של אחרים.