פניני חשיבה ב' - פתרון בעיות לבוגרים

99% ממשקלו הכולל של אבטיח הם מים והשאר – חומר מוצק. האבטיח הונח בשמש למשך זמן ועתה 98% ממשקלו של האבטיח הם מים. בכמה אחוזים השתנה משקלו הכולל של האבטיח?

לפניך כוס אחת עם יין וכוס שנייה עם מים. לוקחים כפית אחת מכוס היין ומעבירים לכוס המים, לאחר מכן מעבירים כפית אחת מכוס המים בחזרה לכוס היין. האם יש יותר יין בכוס המים או יותר מים בכוס היין?

מה שוקל יותר, ברזל בעל מסה של 1 ק"ג או נוצות בעלות מסה של 1 ק"ג? מעבירים את הנ"ל לירח, מה תהיה התשובה עכשיו? מה שוקל על הירח יותר מאשר על כדור הארץ?

מדוע הדבורים בכוורת בונות את חלת הדבש בצורת תאים משושים?

פנינים לבוגרים לגילֵי התיכון ומעלה מציג פתרון בעיות חשיבה רבות מתחומי ההיגיון, המתמטיקה, הפיזיקה והפילוסופיה. הספר מכיל אוסף בעיות נבחר, יפה ומאתגר, ומדריך כיצד פותרים אותן בדרכים שונות. החומרים מובאים באופן מדורג מהקל אל הקשה, מדגימים ומאפשרים פיתוח שיטות חשיבה וכלים לפתרון בעיות, מספקים שעות רבות של אתגר והנאה, ומרחיבים את הדעת. ספר זה יכול וצריך לעניין כל אדם חושב.

ילדים, נוער ומתחילים מוזמנים לבדוק את הספר הראשון בסדרה - פנינים לצעירים, לילדים ולנוער.

נחום יצחקי, דוקטור לאלקטרוניקה פיזיקלית מאוניברסיטת ת"א. הוביל וניהל במשך  כ-25 שנה מחלקות מחקר ופיתוח בתעשייה, פיזיקאים, מהנדסים ומנהלים רבים בחברות הייטק: אינטל, אלאופ-אלביט, ואפלייד-מטריאלס; ובחברות הזנק: לינקס פוטוניק-נטוורקס, ואינוויז. נחום פרסם עשרות מאמרים מדעיים, פרקים בספרים מקצועיים, ומספר פטנטים. כיום, מנהל קבוצת הפיזיקה בחברת פריזמה פוטוניקס.

מבוא

ב"חיידק" הנקרא שיטות חשיבה, פתרון בעיות וחידות נדבקתי להנאתי כבר בבית הספר היסודי, וזה יותר מ־45 שנה - בבית הספר, בצבא, באוניברסיטה ובראיונות עבודה - אני מגדיל את האוסף ואת ההנאה עוד ועוד. את הרעיון לכתוב את הספר לכשאתפנה מהקריירה קיבלתי כבר לפני כ־30 שנה, לפי ההיגיון האומר ש"לקראת הפרישה חובה לעשות בעיקר דברים שאוהבים", וגם לפי האמרה האומרת ש"קודם צריך ללמוד, אחר־כך לעשות ורק לאחר מכן ללמד".

הספר מבוסס על מספר עקרונות יסוד מנחים. ראשית, כל אחד, בכל גיל, יכול להשתפר משמעותית ביכולת לפתור בעיות אנליטיות ויצירתיות, ובתנאי שירצה ויאמין בעצמו, וילך בדרך המוצעת - מן הקל אל הקשה. צריך בעיקר ליהנות וללכת בשיטתיות. כך משתפרים ומאפשרים למצות את הפוטנציאל טוב יותר.

לקבלת תרומה מקסימלית רצוי להתחיל בפעילות זו מוקדם ככל האפשר, אך עדיף מאוחר מאשר לעולם לא - לכולם זה מועיל. פעילות זו טובה לכל אחד ואחת לשיפור דרכי החשיבה ופתרון בעיות אנליטיות ויצירתיות, להגדלת הביטחון העצמי, להנאה לשעות רבות, לגילוי הכישרון ולטיפוחו. נוסף על כך, ישנו אוסף לא גדול של דרכי פתרון שהיכרות עימן ותרגולן משפרים משמעותית את היכולת לפתור רבות מן הבעיות. כל בעיה צריך וניתן לפתור במספר דרכים, הדבר משפר את ההבנה וגם את היצירתיות ובספר זה נראה כיצד הדבר ניתן לביצוע. התרומה הכללית הינה רבה, רב תחומית ומוחשית. כל מה שדרוש הוא: זמן פנוי, הספר, עיפרון ונייר. חובה להתאמץ ולנסות לפתור לבד ככל האפשר - זהו העיקר ורק כך ניתן להשתפר. אומנם, בהתחלה יהיה קשה יותר, בדומה ללימוד שפה חדשה או לימוד נגינה על כלי חדש, אך ככל שנעשה זאת יותר כך נתחזק מהר יותר. מותר וצריך לטעות או לא להצליח. זהו חלק חיוני בלמידה ואין להתבייש בכך. כל מי שרוצה לצאת מהגבולות הנוכחיים שלו עושה טעויות. ככל שננסה יותר ונתמיד, כך נצליח יותר בפתרון בעיות ונמצה את יכולותינו. כל אחד יכול להשתפר מאוד.

חשוב להדגיש, מדובר כאן בפתרון בעיות אנליטיות ויצירתיות. כלומר בעיות שלצורך פתרונן נדרשים היגיון בריא, חשיבה מתמטית, יכולת חשיבה צורנית ומרחבית, יצירתיות, חשיבה אלגוריתמית, חשיבה פיזיקלית, וחשיבה מילולית. אלו מהווים נדבך חשוב מאוד בחיינו - קריטי בלימודים, חשוב מאוד בעבודה ובקבלת החלטות וחשוב ומועיל בכלל בחיים. החשיבה האנליטית מטבעה מכוונת להתכנסות ולאנליזה והחשיבה היצירתית מתבדרת יותר, במיוחד בשלביה הראשונים, ומחברת דברים (סינתזה). רוב שיטות החשיבה והטכניקות לפתרון הבעיות המובאות כאן הן כלי עזר חשובים לחשיבה האנליטית. משלא די באלה, נכנסות לפעולה הטכניקות המוצגות לחשיבה היצירתית, הנחוצה כמובן במקרים הקשים, אך למעשה היא נחוצה תמיד, כי כשרוצים להבין יותר ולראות את התמונה השלמה ומכיוונים שונים - חובה להשתמש גם בה. יחד עם זאת, אין די בחשיבה אנליטית ויצירתית, ויש בחיינו עוד סוגי אינטליגנציה חשובים ומועילים, כגון אינטליגנציה רגשית ואינטליגנציה חברתית, אינטליגנציה של הגוף והתנועה, אינטליגנציה מוזיקלית וחשיבה מערכתית. מטרתו של ספר זה הינה לעזור לכל החפץ בכך לשפר את היכולות האנליטיות והיצירתיות החשובות הללו, לאפשר לו למצות את הפוטנציאל הטמון בו בהקשרים חשובים אלו וכמובן, ליהנות מהתהליך.

מלבד בעיות שניתן לשייך לתחומי ההיגיון והמתמטיקה שולבו לאורך הספר שאלות נבחרות בחשיבה פיזיקלית, השייכות לעולם הפיזיקה, ופרדוקסים נבחרים מן הפילוסופיה. חידות אלו יכולות לעורר חשיבה ועניין רב ולהצית ויכוחים רבים, וזו מטרתן העיקרית. מובאים גם פתרונות ורמזים וראוי להתעמק גם בהם, אך רק לאחר חשיבה עצמאית.

במהלך לימודיי באוניברסיטה השתתפתי בפרויקט פר"ח, פרויקט חונכות לילדים ממשפחות נזקקות. במשך שנה לפחות החונך נפגש כפעמיים בשבוע עם ילד בגיל בית ספר יסודי, משחק איתו, משוחח איתו ועובר איתו קצת על שיעורי הבית. אני הוספתי לכך גם הרבה חידות ברמה שהתאימה לילד, בהתחלה קלות מאוד ולאט לאט הקשיתי. באמצע השנה קיבלתי הודעה מהמורה של הילד שאיתו נפגשתי, שהיא מבקשת שאבוא לפגוש אותה. הגעתי אליה תמה למדי. מה היא רוצה ממני? תהיתי, האם יש איזו בעיה?

הפגישה החלה באופן מדאיג.

"תגיד לי, מה עשית לילד הזה?" היא שאלה.

"למה את מתכוונת?" שאלתי כי לא חשבתי שעשיתי משהו מיוחד. ואז היא סיפרה שזה מספר חודשים הילד נפתח וקיבל ביטחון, הוא שואל את כולם שאלות ואף החל להצביע בשיעורים ולדבר, בניגוד לעבר. סיפרתי לה מה אנחנו עושים בפגישות שלנו ונמלאתי גאווה וביטחון.

גם בשנה השנייה חזרתי על אותה גישה, עם ילד אחר, ושוב התוצאות לא איחרו להגיע. אין הדבר אומר שתמיד ניתן לעשות שינוי כה גדול, אולם אין לי ספק שבמקומות שבהם יש חסר וחסך - ניתן להשיג שיפור משמעותי ולהביא למיצוי הפוטנציאל. לדעתי, כל אדם צריך להיחשף לשיטות המתוארות בספר הזה, ליהנות מהחידות היפות ולמצות את הפוטנציאל שלו, ועדיף כשהוא צעיר. נושאים כגון: למה ללמוד וכיצד ללמוד נכון, פתרון בעיות, יצירתיות, איך לקבל החלטות, התמונה הגדולה ומה מחכה לנו בהמשך, אין ספור התשובות לשאלות "איך צריך לחיות" ו"מהי משמעות החיים", פילוסופיה, אבולוציה, מוזיקה, גבולות הידע שלנו ועוד - כל אלה בדרך כלל מוזנחים בבית הספר. ברור שאין די במספר דוגמאות כדי להוכיח שזו השיטה הנכונה או הטובה ביותר ללמוד לפתור בעיות, לשפר את הביטחון העצמי או למצות את הפוטנציאל, זו גם אינה כוונתי. הסיפורים שלי הם דוגמאות חלקיות מניסיוני האישי והם מתארים את המקור למוטיבציה שלי ולרעיונות. לשם הוכחה נדרשים מחקרים ייעודיים וכאלה אכן נעשו, נעשים ועוד ייעשו. לעת עתה, וכרגיל בתחומים אלו, הקשורים למדעי החברה, אין הוכחה ניצחת, כמותית וחד־משמעית שאם תעשה א, ב ו־ג, תמיד תקבל את ד ו־ה. הדבר מורכב מכך, שהרי מדובר בבני אדם שונים, עם תנאי התחלה שונים וסביבה שונה. אך ללא ספק ישנה קורלציה חיובית סטטיסטית, המחייבת התייחסות חיובית והשקעה בנושא, אף שנדרש עוד מחקר.

במשך השנים זכיתי לראיין ולגייס עובדים רבים בהיי־טק - מדענים, מהנדסים ומנהלים. ראיון העבודה כולל בדיקה מקצועית ואישיותית של המרואיין ובחינת התאמתו לתפקיד ולסביבה. יחד עם זאת, כתוסף ובפרופורציות הנכונות, תמיד שאלתי ובדקתי יכולת פתרון בעיות וחידות ברמת קושי עולה - התחלתי משאלות קלות, שכמעט כולם פותרים, ולאט לאט הגברתי את הקושי, כמאפיין של יכולות ושל אופני חשיבה, ומתוך כוונה לבדוק את אופן ההתנהלות וההתנהגות במצב של שאלות קשות, שלא ציפיתי לפתרונן. צריך להביא בחשבון את תנאי הלחץ בריאיון ולכן המרואיין לא חייב לפתור נכון, אבל הוא כן חייב לנהוג נכון. במקרה כזה בדקתי גם איך חושבים כשמקבלים עזרה ולקחתי בחשבון את כל המרכיבים יחדיו. פעמים רבות מצאתי שזה עזר לי מאוד להבדיל בין הלא טובים, הטובים והמצוינים. הדבר הוכיח את עצמו גם לאחר מכן, במבחן המציאות בעבודה.

מטרות הספר הן, כאמור, לסייע בפיתוח החשיבה והיכולת לפתור בעיות; לעזור לכל מי שחפץ בכך לשפר את היכולות האנליטיות והיצירתיות ולאפשר לו למצות את הפוטנציאל הטמון בו בהקשרים חשובים אלו; להיות מקור מספק אחד המכיל חידות רבות ויפות; ולהציג ארסנל של בעיות מתחומי הלוגיקה, המתמטיקה והמדע שראוי שכל אדם צמא דעת ייחשף אליהן. להראות שלכל בעיה דרכים רבות לפתרון וכי תנאי הכרחי להבנה אמיתית הוא היכולת להסביר נושא בדרכים שונות. להציג אופני חשיבה שונים, לפרט את שלבי הפתרון ולהדגים איך לתקוף בעיות קלות עד קשות ככל שיהיו. הספר יכול לשמש מקור של חשיבה והנאה לשעות ולימים רבים!

האופן שבו משיגים זאת: על־ידי למידת טכניקות וכללים לפתרון בעיות. ראשית יוצגו דוגמאות, אחר ינוסחו הכללים באופן מפורש, לאחר מכן יתבצע תרגול נוסף על־ידי בעיות נוספות עם פתרונות מלאים. אחר־כך יוצגו בעיות עם רמזים בלבד ופתרון חלקי. ואז יבואו בעיות עם תשובה סופית בלבד, ללא פתרונות ורמזים. מפאת רוחב היריעה - רמות שונות, מגוון שיטות וריבוי בעיות יפות ומעניינות - חולק החומר לשני ספרים. הראשון הוא ספר קודם לספר זה, חלק א' לצעירים, ובו חולקו הבעיות לשתי רמות שונות. הראשונה לילדים, מגיל 4 עד 12 לערך - גיל בית ספר יסודי, והשנייה לילדים ונוער, מגיל 10 עד 15 לערך, גיל בית ספר יסודי וחטיבה. ספר זה הוא הספר השני, חלק ב', והוא מיועד לגילים בוגרים יותר. יש בו אוסף שלם עבור גיל התיכון, גיל 14–18 - פרק 2, ואוסף נוסף ברמה הגבוהה ביותר, האוניברסיטאית, לגיל 17 ומעלה - פרק 3. כך יכול כל אחד, בכל גיל ובכל רמה, להתחיל במקום המתאים לו ומשם להתקדם. ניתן לעבור על הפרקים לפי הסדר, בקצב המתאים לקורא, החלוקה לפרקים אינה מחייבת ואינה מדויקת. כך יכול כל אחד לפנות לכל פרק ורמה שיחפוץ, בהתאם לעניין, ליכולת, לשעה ביום וכדומה.

מטעמי חיסכון הפנייה היא בלשון זכר, אך הספר פונה לכולם.

מפאת החשיבות אחזור ואומר: כל מי שבאמת רוצה להשתפר בפתרון בעיות, לאחר שלב הבנת הבעיה חייב לנסות לפתור אותה לבד, בלי להסתכל על הפתרון המובא, ולהקפיד בכך מאוד. רצוי להסתיר מראש (בעזרת היד או נייר) פתרון המובא מייד לאחר חידה. המאמץ לפתור לבד, גם אם ללא הצלחה, כשלאחר מכן מעיינים בפתרון המוצע ומבינים אותו, מוביל לשיפור משמעותי ביכולות הפתרון, תוך שמירה על חשיבה מקורית.

נקודות חשובות:

אנו מגדירים חידה או בעיה, להבדיל מסתם תרגיל, כשאלה שבתחילה אין יודעים כיצד לפתור אותה וצריך לחקור מעט את הנתונים. נדרש לשחק עימם, לבדוק במספר מקרים ומצבים, להקשיב לאינטואיציה ולחשוב באיזו שיטה או שיטות יש לנקוט כדי להגיע לפתרון.

החשיבה, או האינטליגנציה, הנדרשת לפתרון בעיות או חידות נקראת אינטליגנציה נוזלית, או זורמת. היא היכולת לחשוב באופן גמיש, הגיוני ויצירתי, ולפתור שאלות שאיננו יודעים מראש כיצד לפתור, כיוון שלא למדנו מראש ואיננו מכירים טכניקה מתאימה לפתרון הבעיה. זאת להבדיל ממה שקרוי אינטליגנציה גבישית, אשר מאפשרת לפתור שאלות על־סמך ניסיון ולימוד קודמים. פעמים רבות נפתור בעיות בספר זה במספר דרכים, ובהן למשל מה שנכנה "הדרך הסטנדרטית" שבה נפתור שאלה על־ידי השיטות הרגילות שלומדים בבית הספר, לדוגמה: על־ידי ניסוח משוואות מתאימות, קרי - מודל מתמטי, ופתרונן. אך ניתן גם לפתור בדרך שנקרא לה "הדרך האלגנטית", שאינה דורשת טכניקות הנלמדות בבית הספר, אלא בעיקר חשיבה לוגית ויצירתית - אינטליגנציה נוזלית - המסייעת להבין היטב את הבעיה ולפתח שיקולי היגיון וערוצים חדשים המביאים לפתרון הבעיה ללא צורך באמצעים טכניים מורכבים. בדרך כלל דרוש זמן רב יותר להגיע לפתרונות האלגנטיים, כי הטכניקות הרבות שלמדנו כמעט תמיד יקפצו במהירות לראש הפוגש בעיה, ואף ימנעו המשך חשיבה והתעמקות, שהרי כבר יש בידינו פתרון. אך דווקא פתרונות אלגנטיים אלו מניבים את הרגעים המהנים והמתגמלים ביותר בפתרון בעיות, ולכן ראוי תמיד להתאמץ ולנסות לפתור בעיות גם באופן הפשוט, הנקי והטהור הזה.

החידוש העיקרי הוא בניסיון להנגיש את השיטות השונות ואת החידות היפות לאוכלוסייה רחבה יותר וכמעט לכל אדם - בכל גיל ורמה. ניסיתי לתאר את האופן שבו מגיעים לפתרון, את אופני החשיבה השונים וגם איך נתקלים בקשיים ובכל זאת לא מוותרים ומגיעים בסוף לפתרון, או אף לפתרונות שונים. בהתבסס על ניסיוני רב השנים, אם בלימודים, בפנאי או בעבודה, אין לי ספק שהחומרים המובאים כאן יוכלו להסב קורת רוח ללא מעט אנשים, ואף להיות שימושיים, שלא לומר להקל על אנשים רבים למצות את הפוטנציאל הרב הטמון בהם.

שלבים עיקריים בפתרון בעיות

קיימים ניסוחים רבים וגרסאות מגוונות לשלבים הנכונים בפתרון בעיות, אולם המכנה המשותף לכולם כולל את ארבעת השלבים הבאים, שנוסחו כבר בשנות הארבעים של המאה הקודמת על־ידי המתמטיקאי פולייה:

זיהוי והבנת הבעיה (Problem & Objective = PO): זיהוי הבעיה ואפיון מדויק ומפורש של הנתונים ושל מה שנדרש למצוא, או להוכיח, כלומר - המטרה.

חשיבה, חקירה ותכנון דרך הפתרון: (Thinking/Investigation Plan/Alternatives = TP) חשיבה פעילה: ציור הבעיה וניסוחה בדרכים שונות. ניסיון להסיק את כל הדברים הנובעים מהנתונים, פישוט הבעיה ובדיקת מקרים פשוטים, או קטנים יותר, על־מנת לראות מה ניתן ללמוד. חשיבה על מציאת דרכים אפשריות לפתרון, בחירת השיטה שננקוט והגדרת שלבים עיקריים בדרך לפתרון. על מגוון השיטות השונות ראה בשאר הסעיפים הנקראים "סיכום שיטות חשיבה ועקרונות" - סעיף שני בכל אחד מהפרקים הבאים (שיטות אנליטיות ו/או יצירתיות).

ביצוע התוכנית (Execute/Act = E).

בחינה ולמידה (Check, Interpret, and Learn+Generalize = L): הסתכלות לכל הכיוונים: בדיקה חוזרת של דרך הפתרון והתוצאה. בדיקת סבירות הפתרון ומשמעויותיו. למידה לעתיד לבעיות דומות, הכללה וניסיון לפתור את הבעיה בדרכים אחרות.

בסך הכול כדי לזכור בקלות:

POTPEL = Problem & Objective, Think & Plan, Execute, Learn

זאת להבדיל קמעה משיטות לקבלת החלטות. בהן סעיף א' נותר כמתואר לעיל - יש להבין היטב מהי הבעיה ומה המטרה. לאחר מכן, סעיף ב' יכיל את סעיף ב' המתואר לעיל, אך כאן חובה עלינו לייצר מספר חלופות אפשריות לפתרון. בסעיף ג' נחקור ונתקדם בתכנון כל אחת מהחלופות ונלמד את ההשלכות, היתרונות והחסרונות שלה בבואנו לפתור את הבעיה בעזרתה. ובסעיף ד' נשווה בין החלופות השונות על־פי קריטריונים אובייקטיביים בעלי משקל מתאים. כאן נוסיף אף שלב ה' ובו ננסה, אם ניתן, לשלב בין חלופות באופן יצירתי ומושכל, כדי לקבל חלופה חדשה וסופית שתהיה טובה יותר מכל השאר.

בספר זה נתרכז בעיקר בשיטות לפתרון בעיות ונותיר לספר אחר את השיטות לקבלת החלטות, אשר שימושיות לחיים ולעבודה לא פחות מטכניקות לפתרון בעיות ואף מכלילות אותן.

נדגים כאן את 4 השלבים באופן מלא עבור 2 דוגמאות שנלקחו מהספר.

דוגמה ראשונה: 99% ממשקלו הכולל של אבטיח הם מים והשאר - חומר מוצק. האבטיח הונח בשמש למשך זמן והתברר שכעת 98% ממשקלו של האבטיח הם מים. בכמה אחוזים השתנה משקלו הכולל של האבטיח?

PO: נסדר את הנתונים: נתון אבטיח אשר 99% ממשקלו הם מים והשאר 1% מהמשקל מחומר אחר - נקרא לו "מוצק", או "החומר היבש", להבדיל מהמים. הניחו את האבטיח בשמש ולאחר שחלק מהמים התאדה השתנו היחסים ועכשיו המים מהווים 98% והמוצק, או החומר היבש, מהווה 2%. המטרה הנדרשת הינה לדעת בכמה אחוזים קטן המשקל הכולל של האבטיח.

TP: נקודה חשובה בהבנת השאלה היא שרק מים מתאדים בשמש ואילו משקל החומר המוצק אינו משתנה. נשים לב שלא נתון לנו מהו המשקל המקורי של האבטיח, מכך נסיק שהוא אינו משנה. נוכל לסמן אותו באות (כגון a) כאילו הוא נתון, או אף לבחור אותו שרירותית כמספר, למשל 100 גרם (כדי שיהיה נוח לחשב עם האחוזים). נראה גם שנוכל ללכת בדרך הסטנדרטית, כפי שלומדים בבית הספר, ולבנות משוואה או מספר משוואות שיתארו את הבעיה ומפתרונן נוכל לקבל את הנדרש. אבל לפני כן, כדאי לסמן היטב מה המשתנה ומה נדרש: נניח שהאבטיח שוקל 100 גרם בהתחלה, כלומר 99 גרם מים ו־1 גרם חומר יבש. ונניח שבסוף נותרו x גרמים של מים וכמובן נותר 1 גרם של חומר יבש. אנו מחפשים את היחס: (x+1)/100 = ? ובאחוזים - כפול 100, כלומר x+1.

E: נסדר כל זאת בטבלה מסדרת:

            מים בגרמים       חומר יבש בגרמים           סך הכול בגרמים

בהתחלה            (99%) 99         1          (100%) 100

בסוף     (98%) x           1          (100%) X+1

כאמור, משקל המים בסוף הוא 98% מהמשקל הכולל החדש, ולכן נוכל לכתוב את המשוואה:  ופתרונה: x = 49, x+1 = 50, כלומר המשקל הכולל קטן ב־50% מהמשקל המקורי.

L: נבדוק את נכונות הפתרון: נניח שהתחלנו מ־1 ק"ג, 99% הם 990 גרם והחומר היבש הוא 1%, כלומר 10 גרם. עכשיו אם המשקל הכולל ירד לחצי - ½ ק"ג, אזי 98% של 500 גרם הם 490 גרם, ואכן נותרו 10 גרם של החומר היבש כבהתחלה, שהם 2% מ־500 גרם. תוצאה זו מתקבלת בניגוד חריף לאינטואיציה של רובנו, שהרי משקל המים השתנה באחוז אחד בלבד, אז היינו מצפים, באופן לא מוצדק, לכך שגם המשקל הכולל לא ישתנה בהרבה. הנקודה המטעה כאן היא שהשינוי הקטן לכאורה, של אחוז אחד בלבד, הוא יחסית למשקל הכולל, אולם גם המשקל הכולל השתנה משמעותית, בדומה למים עצמם, שירדו באחוז גבוה מ־99 גרם ל־49 גרם - שינוי של יותר מ־50%! למרות כל זאת, כבר נאמר שניתן ורצוי לפתור כל בעיה ביותר מדרך אחת. הפתרון האלגנטי דורש הסתכלות מנקודת מבט חדשה. בדרך כלל ניתן למצוא אותו לאחר שפותרים באופן הסטנדרטי או אם מקדישים מעט יותר זמן בשלב התכנון וחיפוש הדרך הנכונה לפתרון - TP, ומבחינים בנקודה הקריטית והיא שכמות החומר היבש אינה משתנה - היא שמורה, או אינווריאנטית, וכן מתוך הסתכלות על המשלים למים מנקודת מבט של החומר היבש בלבד. ובשתי שורות:

בתחילה המוצק הוא 1% מהמשקל הכולל ובסוף הוא 2% מהמשקל הכולל, כלומר כפול, מבלי להשתנות בעצמו. דבר זה יכול לקרות רק אם המשקל הכולל ירד לחצי בתהליך. כך, בהיגיון פשוט, הבעיה ניתנת לפתרון ללא משוואות ומבלי לחשב יותר מדי. תסכימו איתי שזה הרבה יותר אלגנטי.

דוגמה שנייה: לפניך כוס אחת עם יין וכוס שנייה עם מים. לוקחים כפית אחת מכוס היין ומעבירים לכוס המים ואחרי כן מעבירים כפית אחת מכוס המים, שכבר יש בה כפית יין, בחזרה לכוס היין. הנח שביין אין כלל מים. האם יש יותר יין בכוס המים או יותר מים בכוס היין?

PO: נסדר את הנתונים: שתי כוסות, באחת יין ובשנייה מים. לא נאמר אם כמויות הנוזלים בכוסות זהות או לא, מה שמרמז על כך שאולי אין זה משנה לפתרון. העבירו כפית של יין טהור לכוס המים והחזירו כפית מכוס המים עם קצת יין בחזרה לכוס היין. צריך להניח שאין תכולת מים ביין ולהפך. גם אם זה לא היה מצוין מפורשות בבעיה אפשר היה להסתמך על היגיון בריא, שהרי אחרת הבעיה מסתבכת ואינה פתירה. שימו לב גם שלא נאמר שלפני ההעברה השנייה בוצע ערבוב כלשהו. זה מרמז על כך שאולי גם זה אינו חשוב ואינו משנה לפתרון. המטרה הנדרשת הינה לדעת אם לאחר שתי ההעברות המתוארות יש יותר יין בכוס המים או יותר מים בכוס היין. יותר במובן של נפח. השאלה היא איכותית ולא כמותית.

TP: במבט ראשון, רוב האנשים נוטים לחשוב שיש יותר יין בכוס המים מאשר מים בכוס היין, היות שבהתחלה העברנו כפית שלמה של יין טהור, ואילו בהעברה השנייה סביר להניח שהכפית לא הכילה רק מים - ומכאן שמחזירים פחות מים. אולם במבט שני, אם הועבר יין בחזרה בכפית השנייה אז כבר לא ברור מה יש יותר... ניתן לנסות לתקוף את הבעיה בדרך הסטנדרטית, כפי שלומדים בבית הספר, למשל על־ידי הנחת נפחים ראשוניים, פירוק ומעקב אחר השלבים השונים, ולראות לאן זה יוביל. את החישובים אפשר לעשות בעזרת אחוזים, אך עדיף בעזרת נפחים. אין צורך בשימוש באחוזים מפני שאיננו יודעים מהם הנפחים הראשוניים ואם בוצע ערבוב או לא. נתקדם לשלב הביצוע ולאחריו, בשלב הלמידה, נראה כיצד התובנות יובילו אותנו לדרכי פתרון אלגנטי, קצר ויפה יותר.

E: נניח שנפח היין בכוס היין המקורית הוא v1, שנפח המים בכוס המים המקורית הוא v2, ושנפח הכפית הוא v וכמובן v < v1, v2 . נניח גם שבשלב השני של החזרת כפית מכוס המים לכוס היין חלק היין שהיה בכפית הוא x ולכן חלק המים בכפית זו הוא v-x. עתה נבצע העברות וחשבון נפחים כמתואר בטבלה הבאה:

            כוס יין    כוס מים

            יין          מים       יין          מים

בהתחלה            v1        0          0          v2

אחרי כפית מכוס היין        v1-v     0          v          v2

אחרי כפית מכוס המים     v1-v+x v-x       v-x       v2-v+x

כפי שניתן לראות, נפח החומר הזר זהה בשתי הכוסות: v-x. הסיבה הינה שאם מחזירים מכוס המים x יין אז גם משאירים v-x מן היין בכוס המים ובו־זמנית מעבירים v-x מים לכוס היין.

L: פעמים רבות כשהנשאל מסתבך עם הפתרון אני מציע בעיה חלופית, דיסקרטית, כלומר בדידה ולא רציפה, ולכן קלה יותר. והיא: לפניך 2 כדים. באחד 100 גולות אדומות ובשני 100 גולות לבנות. מעבירים 10 גולות מהכד של האדומות לכד של הלבנות ואז מעבירים בחזרה לכד של האדומות 10 גולות מהכד שבו יש 100 לבנות ו־10 אדומות מבלי לראות. האם יש יותר גולות לבנות בכד של האדומות או יותר אדומות בכד של הלבנות? אם הפותר עדיין מתקשה, אני מציע להניח שבהחזרה היו לדוגמה 3 גולות אדומות ואז זה כבר נעשה קל וכולם מבינים שאם העברנו 3 גולות אדומות בחזרה אז איתן עברו בדיוק 7 לבנות, וגם נותרו רק 7 אדומות בכד הלבנות. כעת כבר קל להכליל עם x ולחזור לבעיה המקורית עם היין והמים ולפתור גם אותה. פתרון הבעיה הבדידה מחזק את הביטחון בפתרון הבעיה הרציפה.

הפתרון האלגנטי:

פתרון אלגנטי ראשון מתקבל לאחר הבנת הפתרון לעיל, או אם קצת חושבים יותר בהתחלה ותופסים את הנקודה הקריטית - שנפח היין שחוזר x גורם לכך שהמשלים ב־v, שהוא (v-x), הוא בדיוק כמו הנפח שנותר במים ולכן מתקבלים נפחים זרים שווים.

פתרון אלגנטי שני, ואולי היפה ביותר, מתקבל אם שמים לב לכך שאחרי שהעברנו את הכפית פעמיים הנפחים של החומר בשתי הכוסות חוזרים בדיוק לנפח המקורי שלהם - v1 בכוס היין ו־v2 בכוס המים, רק שעתה הם אינם טהורים, אלא מעורבבים ביין ומים. לפיכך, כל הימצאות של חומר זר בכוס האחת תופסת את מקומו של חומר טהור מקורי באותה כוס, שנמצא כעת בכוס האחרת כבאיור הבא. לכן נפחי החומרים הזרים שווים.

לעיתים שואלים שאלה זו באופן מעט שונה ומוסיפים כי v1 = v2 עם ערבוב טוב אחרי כל העברה או ללא, כי אין זה משנה. במקרה כזה ניתן לשאול: "היכן אחוז החומר הזר גדול יותר?" אך התשובה אינה משתנה - האחוז זהה - ובדרך כלל, כשעובדים עם אחוזים, זה רק מקשה למצוא את הפתרון האלגנטי.

ניתן גם להכליל ולשאול שאלה לכאורה קשה יותר: מבצעים את הפעולה הבסיסית של כפית אחת בכיוון אחד וכפית שנייה בחזרה במשך n פעמים. היכן יש יותר חומר זר? ברור מהפתרון לעיל שלאחר מחזור אחד הנפחים הזרים זהים ולכן גם לאחר מספר שלם כלשהו של מחזורים התשובה תישאר בעינה - נפחים זרים זהים. קל לראות זאת ולהבין מדוע בעזרת הפתרון האלגנטי השני לעיל.

כולי תקווה כי ספר זה ישמש אתכם לשעות רבות של הנאה ואף יוכל לעזור קמעה במימוש הפוטנציאל שלכם או של אחרים.